O Banco da Matemática

Por: Paulo Coimbra

O “Banco da Matemática” (41º 44' 10.6" N, 7º 28' 8.18" O), colocado na chamada Praça Sul - margem esquerda da Ponte Pedonal de Chaves, é composto por 7 blocos cúbicos com 60 cm de aresta. A composição gráfica nas faces superiores é composta de rectas e curvas, à primeira vista parecendo ter um desenho arbitrário, mas que é de facto geometricamente rigoroso. Algumas pistas que estiveram na origem desta construção geométrica são descritas de seguida. Têm por base a obtenção, por via geométrica, do valor de termos de algumas sucessões numéricas, tomando como unidade o comprimento do lado de uma face.

Trata-se, neste painel, de um confronto do que na matemática pode ser determinado por meios geométricos, e do que requer necessariamente uma resolução analítica. O que vem um pouco na linha da matemática da antiga Grécia - recorde-se que os três célebres problemas da matemática da antiguidade, um dos quais era o da célebre “quadratura do círculo”, tinham a particularidade de não poderem ser resolvidos geometricamente, ou seja, por meio duma construção de sucessões de rectas e curvas traçadas criteriosamente e com rigor, mas apenas por aproximação.

No conjunto das 3 primeiras peças estão representados traçados que permitem obter sucessivamente valores de √2; √3 ... √10 ... (√n, generalizando).

Nas 2 peças seguintes figura a determinação geométrica de 1/2; 1/3 ... 1/6 ....

Nas duas últimas é representada uma espiral logarítmica, embora de uma forma particular, usando apenas os pontos nos eixos ortogonais, unidos por rectas. A título elucidativo, refere-se que a espiral completa de que faz parte, e que é representada na figura ao lado, tem em coordenadas polares, a expressão r = r ^kq ,com r = 0,5 e k =p/2.

Um aspecto interessante dessa representação é que as sucessivas linhas fazem entre si ângulos rectos. Isso possibilita que, calculando dois pontos consecutivos, os restantes se possam obter geometricamente.

Como curiosidade diga-se ainda que a espiral logarítmica, curva que se reproduz sucessivamente a si própria, deleitava de tal modo o matemático Jacob Bernoulli (1654-1705), que desejou que fosse gravada no seu túmulo (com a inscrição eadem mutata resurgo - ressurjo a mesma, embora mudada).

Na série de Fibonacci, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21….., matemático dos séc. XII-XIII, também conhecido pela introdução dos algarismos árabes na Europa, cada termo é composto pela soma dos dois termos anteriores. A divisão entre termos sucessivos tende para o valor vulgarmente designado por “número de ouro”, o que a aproxima de uma progressão geométrica com razão r = (1+√5) /2≈1,618,. Nos 4º e 5º blocos está representada a construção geométrica que permite a obtenção deste número (na realidade esta construção conduz-nos ao valor 1,6180, o que corresponde a uma aproximação até ao 5º dígito), e o designado “rectângulo de ouro”, elementos estes que são recorrentemente usados em criações artísticas - na arquitectura, pintura, música, etc..

Como nota final sobre o “Banco da Matemática”, e incluído na construção geométrica atrás referida, é representado um triângulo, de proporção entre a base e a altura de 2/3. Está na 4ª e em metade da 5ª pedras. 

Este triângulo é a base que serviu para a definição geométrica da designada Praça Sul, que na realidade é um triângulo em planta, com a base de 18 m e altura de 27 m. Já no caso da torre metálica de suspensão dos tirantes foi usada uma proporção de 1/2, para os mesmos elementos.

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